Réitigh {l}{3x+5y=10}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 10 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$3x+5y=10$$

Bain 5y ón dá thaobh den chothromóid.

$$3x=-5y+10$$

Roinn an dá thaobh faoi 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+10\right)$$

Méadaigh \frac{1}{3} faoi -5y+10.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

Cuir x in aonad \frac{-5y+10}{3} sa chothromóid eile, 2x-y=5.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=5$$

Méadaigh 2 faoi \frac{-5y+10}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}-y=5$$

Suimigh -\frac{10y}{3} le -y?

$$-\frac{13}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

Bain \frac{20}{3} ón dá thaobh den chothromóid.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi -\frac{13}{3}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$y=\frac{5}{13}$$

Cuir y in aonad \frac{5}{13} in x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{10}{3}$$

Méadaigh -\frac{5}{3} faoi \frac{5}{13} tríd an uimhreoir a mhéadú faoin uimhreoir agus an t-ainmneoir a mhéadú faoin ainmneoir. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{10}{3}$$

Suimigh \frac{10}{3} le -\frac{25}{39} trí chomhainmneoir a fháil agus na huimhreoirí a shuimiú. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=\frac{35}{13}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 10+\frac{5}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 10-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Chun 3x agus 2x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 2 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 10,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5$$

Simpligh.

$$6x+10y=20,6x-3y=15$$

Dealaigh 6x-3y=15 ó 6x+10y=20 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$6x-6x+10y+3y=20-15$$

Suimigh 6x le -6x? Cuirtear na téarmaí 6x agus -6x ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$10y+3y=20-15$$

Suimigh 10y le 3y?

$$13y=20-15$$

Suimigh 20 le -15?

$$13y=5$$

Roinn an dá thaobh faoi 13.

$$y=\frac{5}{13}$$

Cuir y in aonad \frac{5}{13} in 2x-y=5. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$2x-\frac{5}{13}=5$$

Cuir \frac{5}{13} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$2x=\frac{70}{13}$$

Roinn an dá thaobh faoi 2.

$$x=\frac{35}{13}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$