Réitigh {l}{2x-5y=10}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x = \frac{305}{11} = 27\frac{8}{11} \approx 27.727272727$$

$$y = \frac{100}{11} = 9\frac{1}{11} \approx 9.090909091$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$2x-5y=10$$

Cuir 5y leis an dá thaobh den chothromóid.

$$2x=5y+10$$

Roinn an dá thaobh faoi 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

Méadaigh \frac{1}{2} faoi 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Cuir x in aonad 5+\frac{5y}{2} sa chothromóid eile, 4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=120$$

Méadaigh 4 faoi 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=120$$

Suimigh 10y le y?

$$11y+20=120$$

Bain 20 ón dá thaobh den chothromóid.

$$11y=100$$

Roinn an dá thaobh faoi 11.

$$y=\frac{100}{11}$$

Cuir y in aonad \frac{100}{11} in x=\frac{5}{2}y+5. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{100}{11}+5$$

Méadaigh \frac{5}{2} faoi \frac{100}{11} tríd an uimhreoir a mhéadú faoin uimhreoir agus an t-ainmneoir a mhéadú faoin ainmneoir. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=\frac{250}{11}+5$$

Suimigh 5 le \frac{250}{11}?

$$x=\frac{305}{11}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{305}{11}\\\frac{100}{11}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

Chun 2x agus 4x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 4 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 120$$

Simpligh.

$$8x-20y=40,8x+2y=240$$

Dealaigh 8x+2y=240 ó 8x-20y=40 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$8x-8x-20y-2y=40-240$$

Suimigh 8x le -8x? Cuirtear na téarmaí 8x agus -8x ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$-20y-2y=40-240$$

Suimigh -20y le -2y?

$$-22y=40-240$$

Suimigh 40 le -240?

$$-22y=-200$$

Roinn an dá thaobh faoi -22.

$$y=\frac{100}{11}$$

Cuir y in aonad \frac{100}{11} in 4x+y=120. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$4x+\frac{100}{11}=120$$

Bain \frac{100}{11} ón dá thaobh den chothromóid.

$$4x=\frac{1220}{11}$$

Roinn an dá thaobh faoi 4.

$$x=\frac{305}{11}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$