Réitigh {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x=5$$

$$y=7$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun x-2 a mhéadú faoi y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Úsáid an t-airí dáileach chun x-1 a mhéadú faoi y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Bain xy ón dá thaobh.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Comhcheangail xy agus -xy chun 0 a fháil.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Bain 2x ón dá thaobh.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Comhcheangail 5x agus -2x chun 3x a fháil.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Cuir y leis an dá thaobh.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Comhcheangail -2y agus y chun -y a fháil.

$$3x-y-10=-2$$

Cuir 10 leis an dá thaobh.

$$3x-y=-2+10$$

Suimigh -2 agus 10 chun 8 a fháil.

$$3x-y=8$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun y-3 a mhéadú faoi x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Úsáid an t-airí dáileach chun x+7 a mhéadú faoi y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Bain xy ón dá thaobh.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Comhcheangail yx agus -xy chun 0 a fháil.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Cuir 4x leis an dá thaobh.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Comhcheangail -3x agus 4x chun x a fháil.

$$4y+x-12=7y-28$$

Bain 7y ón dá thaobh.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Comhcheangail 4y agus -7y chun -3y a fháil.

$$-3y+x-12=-28$$

Cuir 12 leis an dá thaobh.

$$-3y+x=-28+12$$

Suimigh -28 agus 12 chun -16 a fháil.

$$-3y+x=-16$$

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$3x-y=8$$

Cuir y leis an dá thaobh den chothromóid.

$$3x=y+8$$

Roinn an dá thaobh faoi 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Méadaigh \frac{1}{3} faoi y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Cuir x in aonad \frac{8+y}{3} sa chothromóid eile, x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

Suimigh \frac{y}{3} le -3y?

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

Bain \frac{8}{3} ón dá thaobh den chothromóid.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi -\frac{8}{3}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$y=7$$

Cuir y in aonad 7 in x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

Méadaigh \frac{1}{3} faoi 7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Suimigh \frac{8}{3} le \frac{7}{3} trí chomhainmneoir a fháil agus na huimhreoirí a shuimiú. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=5$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=5,y=7$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun x-2 a mhéadú faoi y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Úsáid an t-airí dáileach chun x-1 a mhéadú faoi y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Bain xy ón dá thaobh.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Comhcheangail xy agus -xy chun 0 a fháil.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Bain 2x ón dá thaobh.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Comhcheangail 5x agus -2x chun 3x a fháil.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Cuir y leis an dá thaobh.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Comhcheangail -2y agus y chun -y a fháil.

$$3x-y-10=-2$$

Cuir 10 leis an dá thaobh.

$$3x-y=-2+10$$

Suimigh -2 agus 10 chun 8 a fháil.

$$3x-y=8$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun y-3 a mhéadú faoi x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Úsáid an t-airí dáileach chun x+7 a mhéadú faoi y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Bain xy ón dá thaobh.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Comhcheangail yx agus -xy chun 0 a fháil.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Cuir 4x leis an dá thaobh.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Comhcheangail -3x agus 4x chun x a fháil.

$$4y+x-12=7y-28$$

Bain 7y ón dá thaobh.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Comhcheangail 4y agus -7y chun -3y a fháil.

$$-3y+x-12=-28$$

Cuir 12 leis an dá thaobh.

$$-3y+x=-28+12$$

Suimigh -28 agus 12 chun -16 a fháil.

$$-3y+x=-16$$

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=5,y=7$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun x-2 a mhéadú faoi y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Úsáid an t-airí dáileach chun x-1 a mhéadú faoi y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Bain xy ón dá thaobh.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Comhcheangail xy agus -xy chun 0 a fháil.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Bain 2x ón dá thaobh.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Comhcheangail 5x agus -2x chun 3x a fháil.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Cuir y leis an dá thaobh.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Comhcheangail -2y agus y chun -y a fháil.

$$3x-y-10=-2$$

Cuir 10 leis an dá thaobh.

$$3x-y=-2+10$$

Suimigh -2 agus 10 chun 8 a fháil.

$$3x-y=8$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun y-3 a mhéadú faoi x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Úsáid an t-airí dáileach chun x+7 a mhéadú faoi y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Bain xy ón dá thaobh.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Comhcheangail yx agus -xy chun 0 a fháil.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Cuir 4x leis an dá thaobh.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Comhcheangail -3x agus 4x chun x a fháil.

$$4y+x-12=7y-28$$

Bain 7y ón dá thaobh.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Comhcheangail 4y agus -7y chun -3y a fháil.

$$-3y+x-12=-28$$

Cuir 12 leis an dá thaobh.

$$-3y+x=-28+12$$

Suimigh -28 agus 12 chun -16 a fháil.

$$-3y+x=-16$$

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Chun 3x agus x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 1 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 3.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

Simpligh.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

Dealaigh 3x-9y=-48 ó 3x-y=8 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

Suimigh 3x le -3x? Cuirtear na téarmaí 3x agus -3x ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$-y+9y=8+48$$

Suimigh -y le 9y?

$$8y=8+48$$

Suimigh 8 le 48?

$$8y=56$$

Roinn an dá thaobh faoi 8.

$$y=7$$

Cuir y in aonad 7 in x-3y=-16. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x-3\times 7=-16$$

Méadaigh -3 faoi 7.

$$x-21=-16$$

Cuir 21 leis an dá thaobh den chothromóid.

$$x=5$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=5,y=7$$