Réitigh {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Méadaigh an dá thaobh den chothromóid faoi 100.

$$108x+110y=100800$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Laghdaigh an codán \frac{110}{100} chuig na téarmaí is ísle trí 10 a bhaint agus a chealú.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Laghdaigh an codán \frac{108}{100} chuig na téarmaí is ísle trí 4 a bhaint agus a chealú.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$108x+110y=100800$$

Bain 110y ón dá thaobh den chothromóid.

$$108x=-110y+100800$$

Roinn an dá thaobh faoi 108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

Méadaigh \frac{1}{108} faoi -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Cuir x in aonad -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} sa chothromóid eile, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

Méadaigh \frac{11}{10} faoi -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Suimigh -\frac{121y}{108} le \frac{27y}{25}?

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Bain \frac{3080}{3} ón dá thaobh den chothromóid.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi -\frac{109}{2700}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Cuir y in aonad -\frac{3600}{109} in x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Méadaigh -\frac{55}{54} faoi -\frac{3600}{109} tríd an uimhreoir a mhéadú faoin uimhreoir agus an t-ainmneoir a mhéadú faoin ainmneoir. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Suimigh \frac{2800}{3} le \frac{11000}{327} trí chomhainmneoir a fháil agus na huimhreoirí a shuimiú. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Méadaigh an dá thaobh den chothromóid faoi 100.

$$108x+110y=100800$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Laghdaigh an codán \frac{110}{100} chuig na téarmaí is ísle trí 10 a bhaint agus a chealú.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Laghdaigh an codán \frac{108}{100} chuig na téarmaí is ísle trí 4 a bhaint agus a chealú.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Méadaigh an dá thaobh den chothromóid faoi 100.

$$108x+110y=100800$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Laghdaigh an codán \frac{110}{100} chuig na téarmaí is ísle trí 10 a bhaint agus a chealú.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Laghdaigh an codán \frac{108}{100} chuig na téarmaí is ísle trí 4 a bhaint agus a chealú.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Chun 108x agus \frac{11x}{10} a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi \frac{11}{10} agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Simpligh.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Dealaigh \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 ó \frac{594}{5}x+121y=110880 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Suimigh \frac{594x}{5} le -\frac{594x}{5}? Cuirtear na téarmaí \frac{594x}{5} agus -\frac{594x}{5} ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Suimigh 121y le -\frac{2916y}{25}?

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Suimigh 110880 le -111024?

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi \frac{109}{25}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Cuir y in aonad -\frac{3600}{109} in \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Méadaigh \frac{27}{25} faoi -\frac{3600}{109} tríd an uimhreoir a mhéadú faoin uimhreoir agus an t-ainmneoir a mhéadú faoin ainmneoir. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Cuir \frac{3888}{109} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi \frac{11}{10}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$