Réitigh {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Bain 8 ón dá thaobh den chothromóid.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Cuir by leis an dá thaobh den chothromóid.

$$ax=by-8$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Méadaigh \frac{1}{a} faoi by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Cuir x in aonad \frac{by-8}{a} sa chothromóid eile, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Méadaigh b faoi \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Suimigh \frac{b^{2}y}{a} le ay?

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Suimigh -\frac{8b}{a} le 1?

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Bain \frac{a-8b}{a} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Roinn an dá thaobh faoi a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} in x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Méadaigh \frac{b}{a} faoi \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Suimigh -\frac{8}{a} le \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}?

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Chun ax agus bx a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi b agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Simpligh.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Dealaigh abx+a^{2}y+a=0 ó abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Suimigh bax le -bax? Cuirtear na téarmaí bax agus -bax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Suimigh -b^{2}y le -a^{2}y?

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Bain 8b-a ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Roinn an dá thaobh faoi -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Cuir y in aonad -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} in bx+ay+1=0. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Méadaigh a faoi -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Suimigh -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} le 1?

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Bain \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} ón dá thaobh den chothromóid.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Roinn an dá thaobh faoi b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Réitigh do x,y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Bain 8 ón dá thaobh den chothromóid.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Cuir by leis an dá thaobh den chothromóid.

$$ax=by-8$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Méadaigh \frac{1}{a} faoi by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Cuir x in aonad \frac{by-8}{a} sa chothromóid eile, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Méadaigh b faoi \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Suimigh \frac{b^{2}y}{a} le ay?

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Suimigh -\frac{8b}{a} le 1?

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Bain \frac{a-8b}{a} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Roinn an dá thaobh faoi a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} in x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Méadaigh \frac{b}{a} faoi \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Suimigh -\frac{8}{a} le \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}?

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Chun ax agus bx a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi b agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Simpligh.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Dealaigh abx+a^{2}y+a=0 ó abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Suimigh bax le -bax? Cuirtear na téarmaí bax agus -bax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Suimigh -b^{2}y le -a^{2}y?

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Bain 8b-a ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Roinn an dá thaobh faoi -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Cuir y in aonad -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} in bx+ay+1=0. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Méadaigh a faoi -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Suimigh -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} le 1?

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Bain \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} ón dá thaobh den chothromóid.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Roinn an dá thaobh faoi b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$