Réitigh {l}{ax+by=9}{2bx-ay=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = 9 } \\ { 2 b x - a y = - 6 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$x=-\frac{3\left(2b-3a\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

$$a\neq -\sqrt{2}ib\text{ and }a\neq \sqrt{2}ib$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$ax+by=9$$

Bain by ón dá thaobh den chothromóid.

$$ax=\left(-b\right)y+9$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+9\right)$$

Méadaigh \frac{1}{a} faoi -by+9.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}$$

Cuir x in aonad \frac{-by+9}{a} sa chothromóid eile, 2bx+\left(-a\right)y=-6.

$$2b\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}\right)+\left(-a\right)y=-6$$

Méadaigh 2b faoi \frac{-by+9}{a}.

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}\right)y+\frac{18b}{a}+\left(-a\right)y=-6$$

Suimigh -\frac{2b^{2}y}{a} le -ay?

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}-a\right)y+\frac{18b}{a}=-6$$

Bain \frac{18b}{a} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}-a\right)y=-\frac{18b}{a}-6$$

Roinn an dá thaobh faoi -\frac{2b^{2}}{a}-a.

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{6\left(3b+a\right)}{a^{2}+2b^{2}} in x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{9}{a}$$

Méadaigh -\frac{b}{a} faoi \frac{6\left(3b+a\right)}{a^{2}+2b^{2}}.

$$x=-\frac{6b\left(a+3b\right)}{a\left(a^{2}+2b^{2}\right)}+\frac{9}{a}$$

Suimigh \frac{9}{a} le -\frac{6b\left(3b+a\right)}{a\left(a^{2}+2b^{2}\right)}?

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{a\left(-a\right)-b\times 2b}&-\frac{b}{a\left(-a\right)-b\times 2b}\\-\frac{2b}{a\left(-a\right)-b\times 2b}&\frac{a}{a\left(-a\right)-b\times 2b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+2b^{2}}\\\frac{2b}{a^{2}+2b^{2}}&-\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\times 9+\frac{b}{a^{2}+2b^{2}}\left(-6\right)\\\frac{2b}{a^{2}+2b^{2}}\times 9+\left(-\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\right)\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}\\\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

Chun ax agus 2bx a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 2b agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi a.

$$2bax+2bby=2b\times 9,a\times 2bx+a\left(-a\right)y=a\left(-6\right)$$

Simpligh.

$$2abx+2b^{2}y=18b,2abx+\left(-a^{2}\right)y=-6a$$

Dealaigh 2abx+\left(-a^{2}\right)y=-6a ó 2abx+2b^{2}y=18b trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$2abx+\left(-2ab\right)x+2b^{2}y+a^{2}y=18b+6a$$

Suimigh 2bax le -2bax? Cuirtear na téarmaí 2bax agus -2bax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$2b^{2}y+a^{2}y=18b+6a$$

Suimigh 2b^{2}y le a^{2}y?

$$\left(a^{2}+2b^{2}\right)y=18b+6a$$

Suimigh 18b le 6a?

$$\left(a^{2}+2b^{2}\right)y=6a+18b$$

Roinn an dá thaobh faoi 2b^{2}+a^{2}.

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{6\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}} in 2bx+\left(-a\right)y=-6. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$2bx+\left(-a\right)\times \frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}=-6$$

Méadaigh -a faoi \frac{6\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}}.

$$2bx-\frac{6a\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}=-6$$

Cuir \frac{6a\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$2bx=\frac{6b\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Roinn an dá thaobh faoi 2b.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Réitigh do x,y.

$$x=-\frac{3\left(2b-3a\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$ax+by=9$$

Bain by ón dá thaobh den chothromóid.

$$ax=\left(-b\right)y+9$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+9\right)$$

Méadaigh \frac{1}{a} faoi -by+9.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}$$

Cuir x in aonad \frac{-by+9}{a} sa chothromóid eile, 2bx+\left(-a\right)y=-6.

$$2b\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}\right)+\left(-a\right)y=-6$$

Méadaigh 2b faoi \frac{-by+9}{a}.

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}\right)y+\frac{18b}{a}+\left(-a\right)y=-6$$

Suimigh -\frac{2b^{2}y}{a} le -ay?

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}-a\right)y+\frac{18b}{a}=-6$$

Bain \frac{18b}{a} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}-a\right)y=-\frac{18b}{a}-6$$

Roinn an dá thaobh faoi -\frac{2b^{2}}{a}-a.

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{6\left(3b+a\right)}{a^{2}+2b^{2}} in x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{9}{a}$$

Méadaigh -\frac{b}{a} faoi \frac{6\left(3b+a\right)}{a^{2}+2b^{2}}.

$$x=-\frac{6b\left(a+3b\right)}{a\left(a^{2}+2b^{2}\right)}+\frac{9}{a}$$

Suimigh \frac{9}{a} le -\frac{6b\left(3b+a\right)}{a\left(a^{2}+2b^{2}\right)}?

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{a\left(-a\right)-b\times 2b}&-\frac{b}{a\left(-a\right)-b\times 2b}\\-\frac{2b}{a\left(-a\right)-b\times 2b}&\frac{a}{a\left(-a\right)-b\times 2b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+2b^{2}}\\\frac{2b}{a^{2}+2b^{2}}&-\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\times 9+\frac{b}{a^{2}+2b^{2}}\left(-6\right)\\\frac{2b}{a^{2}+2b^{2}}\times 9+\left(-\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\right)\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}\\\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

Chun ax agus 2bx a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 2b agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi a.

$$2bax+2bby=2b\times 9,a\times 2bx+a\left(-a\right)y=a\left(-6\right)$$

Simpligh.

$$2abx+2b^{2}y=18b,2abx+\left(-a^{2}\right)y=-6a$$

Dealaigh 2abx+\left(-a^{2}\right)y=-6a ó 2abx+2b^{2}y=18b trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$2abx+\left(-2ab\right)x+2b^{2}y+a^{2}y=18b+6a$$

Suimigh 2bax le -2bax? Cuirtear na téarmaí 2bax agus -2bax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$2b^{2}y+a^{2}y=18b+6a$$

Suimigh 2b^{2}y le a^{2}y?

$$\left(a^{2}+2b^{2}\right)y=18b+6a$$

Suimigh 18b le 6a?

$$\left(a^{2}+2b^{2}\right)y=6a+18b$$

Roinn an dá thaobh faoi 2b^{2}+a^{2}.

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{6\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}} in 2bx+\left(-a\right)y=-6. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$2bx+\left(-a\right)\times \frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}=-6$$

Méadaigh -a faoi \frac{6\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}}.

$$2bx-\frac{6a\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}=-6$$

Cuir \frac{6a\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$2bx=\frac{6b\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Roinn an dá thaobh faoi 2b.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$