Réitigh {l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Cuir 4a leis an dá thaobh den chothromóid.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Cuir ay leis an dá thaobh den chothromóid.

$$4x=ay+4a$$

Roinn an dá thaobh faoi 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Méadaigh \frac{1}{4} faoi a\left(4+y\right).

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Cuir x in aonad a+\frac{ay}{4} sa chothromóid eile, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Méadaigh a faoi a+\frac{ay}{4}.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Suimigh \frac{a^{2}y}{4} le -4y?

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Suimigh a^{2} le 6a?

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Bain a\left(6+a\right) ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Roinn an dá thaobh faoi -4+\frac{a^{2}}{4}.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Cuir y in aonad -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} in x=\frac{a}{4}y+a. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Méadaigh \frac{a}{4} faoi -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Suimigh a le -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}?

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Chun 4x agus ax a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi a agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 4.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Simpligh.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Dealaigh 4ax-16y+24a=0 ó 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suimigh 4ax le -4ax? Cuirtear na téarmaí 4ax agus -4ax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suimigh -a^{2}y le 16y?

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Suimigh -4a^{2} le -24a?

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Cuir 4a\left(6+a\right) leis an dá thaobh den chothromóid.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Roinn an dá thaobh faoi -a^{2}+16.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} in ax-4y+6a=0. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Méadaigh -4 faoi \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Suimigh -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} le 6a?

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Cuir \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Réitigh do x,y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Cuir 4a leis an dá thaobh den chothromóid.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Cuir ay leis an dá thaobh den chothromóid.

$$4x=ay+4a$$

Roinn an dá thaobh faoi 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Méadaigh \frac{1}{4} faoi a\left(4+y\right).

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Cuir x in aonad a+\frac{ay}{4} sa chothromóid eile, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Méadaigh a faoi a+\frac{ay}{4}.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Suimigh \frac{a^{2}y}{4} le -4y?

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Suimigh a^{2} le 6a?

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Bain a\left(6+a\right) ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Roinn an dá thaobh faoi -4+\frac{a^{2}}{4}.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Cuir y in aonad -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} in x=\frac{a}{4}y+a. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Méadaigh \frac{a}{4} faoi -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Suimigh a le -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}?

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Chun 4x agus ax a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi a agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 4.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Simpligh.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Dealaigh 4ax-16y+24a=0 ó 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suimigh 4ax le -4ax? Cuirtear na téarmaí 4ax agus -4ax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suimigh -a^{2}y le 16y?

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Suimigh -4a^{2} le -24a?

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Cuir 4a\left(6+a\right) leis an dá thaobh den chothromóid.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Roinn an dá thaobh faoi -a^{2}+16.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Cuir y in aonad \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} in ax-4y+6a=0. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Méadaigh -4 faoi \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Suimigh -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} le 6a?

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Cuir \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$