Réitigh {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$2x+7y=15$$

Bain 7y ón dá thaobh den chothromóid.

$$2x=-7y+15$$

Roinn an dá thaobh faoi 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

Méadaigh \frac{1}{2} faoi -7y+15.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

Cuir x in aonad \frac{-7y+15}{2} sa chothromóid eile, 3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

Méadaigh 3 faoi \frac{-7y+15}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

Suimigh -\frac{21y}{2} le -5y?

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

Bain \frac{45}{2} ón dá thaobh den chothromóid.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi -\frac{31}{2}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Cuir y in aonad -\frac{1}{31} in x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

Méadaigh -\frac{7}{2} faoi -\frac{1}{31} tríd an uimhreoir a mhéadú faoin uimhreoir agus an t-ainmneoir a mhéadú faoin ainmneoir. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

Suimigh \frac{15}{2} le \frac{7}{62} trí chomhainmneoir a fháil agus na huimhreoirí a shuimiú. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=\frac{236}{31}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Chun 2x agus 3x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 3 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

Simpligh.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

Dealaigh 6x-10y=46 ó 6x+21y=45 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

Suimigh 6x le -6x? Cuirtear na téarmaí 6x agus -6x ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$21y+10y=45-46$$

Suimigh 21y le 10y?

$$31y=45-46$$

Suimigh 45 le -46?

$$31y=-1$$

Roinn an dá thaobh faoi 31.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Cuir y in aonad -\frac{1}{31} in 3x-5y=23. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

Méadaigh -5 faoi -\frac{1}{31}.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

Bain \frac{5}{31} ón dá thaobh den chothromóid.

$$3x=\frac{708}{31}$$

Roinn an dá thaobh faoi 3.

$$x=\frac{236}{31}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$