Différencier w.r.t. x
-\sin(x)
Évaluer
\cos(x)
Graphique
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)
Pour une fonction f\left(x\right), la dérivée est la limite de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} car h passe à 0, si cette limite existe.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
Utiliser la formule de somme pour le cosinus.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}
Exclure \cos(x).
\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Réécrire la limite.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Utiliser le fait que x est une constante lors du calcul des limites tandis que h passe à 0.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)
La limite de \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} est 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Pour évaluer la limite \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, commencez par multiplier le numérateur et le dénominateur par \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Multiplier \cos(h)+1 par \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Utiliser l’identité de Pythagore.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Réécrire la limite.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
La limite de \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} est 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Utiliser le fait que \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} est continu à 0.
-\sin(x)
Substituer la valeur 0 dans l’expression \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x).