Résoudre z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Calculer z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Substituer t pour z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -1 pour b et 1 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Résoudre l’équation t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Depuis z=t^{3}, les solutions sont obtenues en résolvant l’équation pour chaque t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$