Résoudre z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Calculer z (solution complexe)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

Étapes de la solution

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -8 et q divise le 1 de coefficients dominants. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$z=1$$

Selon le théorème du produit nul, z-k est un facteur de polynôme pour chaque k racine. Diviser z^{3}+3z^{2}+4z-8 par z-1 pour obtenir z^{2}+4z+8. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 4 pour b et 8 pour c dans la formule quadratique.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Résoudre l' z^{2}+4z+8=0 de l'équation lorsque la ± est plus et que ± est moins.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Calculer z

$$z=1$$

Étapes de la solution

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -8 et q divise le 1 de coefficients dominants. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$z=1$$

Selon le théorème du produit nul, z-k est un facteur de polynôme pour chaque k racine. Diviser z^{3}+3z^{2}+4z-8 par z-1 pour obtenir z^{2}+4z+8. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 4 pour b et 8 pour c dans la formule quadratique.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Comme la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans le champ réel, il n’existe aucune solution.

$$z\in \emptyset$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$z=1$$