Résoudre z^2-6z+34=0

$$z ^ { 2 } - 6 z + 34 = 0$$

Calculer z

$$z=3+5i$$

$$z=3-5i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -6 à b et 34 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 34}}{2}$$

Calculer le carré de -6.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 34}}{2}$$

Multiplier -4 par 34.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-136}}{2}$$

Additionner 36 et -136.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-100}}{2}$$

Extraire la racine carrée de -100.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±10i}{2}$$

L’inverse de -6 est 6.

$$z=\frac{6±10i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{6±10i}{2} lorsque ± est positif. Additionner 6 et 10i.

$$z=\frac{6+10i}{2}$$

Diviser 6+10i par 2.

$$z=3+5i$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{6±10i}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 10i à 6.

$$z=\frac{6-10i}{2}$$

Diviser 6-10i par 2.

$$z=3-5i$$

L’équation est désormais résolue.

$$z=3+5i z=3-5i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Soustraire 34 des deux côtés de l’équation.

$$z^{2}-6z+34-34=-34$$

La soustraction de 34 de lui-même donne 0.

$$z^{2}-6z=-34$$

Divisez -6, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -3. Ajouter ensuite le carré de -3 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=-34+\left(-3\right)^{2}$$

Calculer le carré de -3.

$$z^{2}-6z+9=-34+9$$

Additionner -34 et 9.

$$z^{2}-6z+9=-25$$

Factor z^{2}-6z+9. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-3\right)^{2}=-25$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Simplifier.

$$z-3=5i z-3=-5i$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$z=3+5i z=3-5i$$