Résoudre z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Calculer z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -2i à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Calculer le carré de -2i.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Multiplier -4 par 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Additionner -4 et -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Extraire la racine carrée de -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{2i±4i}{2} lorsque ± est positif. Additionner 2i et 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Diviser 6i par 2.

$$z=3i$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{2i±4i}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 4i à 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Diviser -2i par 2.

$$z=-i$$

L’équation est désormais résolue.

$$z=3i z=-i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

La soustraction de 3 de lui-même donne 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Divisez -2i, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -i. Ajouter ensuite le carré de -i aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Calculer le carré de -i.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Additionner -3 et -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Factor z^{2}-2iz-1. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Simplifier.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Ajouter i aux deux côtés de l’équation.

$$z=3i z=-i$$