Résoudre y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Calculer y, x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire x des deux côtés.

$$y-x=-9$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter x aux deux côtés.

$$y+x=5$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$y-x=-9$$

Ajouter x aux deux côtés de l’équation.

$$y=x-9$$

Substituer x-9 par y dans l’autre équation, y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Additionner x et x.

$$2x-9=5$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$2x=14$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x=7$$

Substituer 7 à x dans y=x-9. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=7-9$$

Additionner -9 et 7.

$$y=-2$$

Le système est désormais résolu.

$$y=-2,x=7$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire x des deux côtés.

$$y-x=-9$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter x aux deux côtés.

$$y+x=5$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=-2,x=7$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire x des deux côtés.

$$y-x=-9$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter x aux deux côtés.

$$y+x=5$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Soustraire y+x=5 de y-x=-9 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Additionner y et -y. Les termes y et-y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-x-x=-9-5$$

Additionner -x et -x.

$$-2x=-9-5$$

Additionner -9 et -5.

$$-2x=-14$$

Divisez les deux côtés par -2.

$$x=7$$

Substituer 7 à x dans y+x=5. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y+7=5$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$y=-2$$

Le système est désormais résolu.

$$y=-2,x=7$$