Résoudre y=3x-5text{and}3x+5y=11

$$y = 3 x - 5 \text { and } 3 x + 5 y = 11$$

Calculer y, x

$$x=2$$

$$y=1$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire 3x des deux côtés.

$$y-3x=-5$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y-3x=-5,5y+3x=11$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$y-3x=-5$$

Ajouter 3x aux deux côtés de l’équation.

$$y=3x-5$$

Substituer 3x-5 par y dans l’autre équation, 5y+3x=11.

$$5\left(3x-5\right)+3x=11$$

Multiplier 5 par 3x-5.

$$15x-25+3x=11$$

Additionner 15x et 3x.

$$18x-25=11$$

Ajouter 25 aux deux côtés de l’équation.

$$18x=36$$

Divisez les deux côtés par 18.

$$x=2$$

Substituer 2 à x dans y=3x-5. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=3\times 2-5$$

Multiplier 3 par 2.

$$y=6-5$$

Additionner -5 et 6.

$$y=1$$

Le système est désormais résolu.

$$y=1,x=2$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire 3x des deux côtés.

$$y-3x=-5$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y-3x=-5,5y+3x=11$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-5\right)+\frac{1}{6}\times 11\\-\frac{5}{18}\left(-5\right)+\frac{1}{18}\times 11\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=1,x=2$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire 3x des deux côtés.

$$y-3x=-5$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y-3x=-5,5y+3x=11$$

Pour rendre y et 5y égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 5 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 1.

$$5y+5\left(-3\right)x=5\left(-5\right),5y+3x=11$$

Simplifier.

$$5y-15x=-25,5y+3x=11$$

Soustraire 5y+3x=11 de 5y-15x=-25 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$5y-5y-15x-3x=-25-11$$

Additionner 5y et -5y. Les termes 5y et-5y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-15x-3x=-25-11$$

Additionner -15x et -3x.

$$-18x=-25-11$$

Additionner -25 et -11.

$$-18x=-36$$

Divisez les deux côtés par -18.

$$x=2$$

Substituer 2 à x dans 5y+3x=11. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$5y+3\times 2=11$$

Multiplier 3 par 2.

$$5y+6=11$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$5y=5$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$y=1$$

Le système est désormais résolu.

$$y=1,x=2$$