Résoudre y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Calculer y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=-1$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$y-2x=-1$$

Ajouter 2x aux deux côtés de l’équation.

$$y=2x-1$$

Substituer 2x-1 par y dans l’autre équation, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Additionner 2x et 2x.

$$4x-1=3$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$4x=4$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x=1$$

Substituer 1 à x dans y=2x-1. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=2-1$$

Additionner -1 et 2.

$$y=1$$

Le système est désormais résolu.

$$y=1,x=1$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=-1$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=1,x=1$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=-1$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Soustraire y+2x=3 de y-2x=-1 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Additionner y et -y. Les termes y et-y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-2x-2x=-1-3$$

Additionner -2x et -2x.

$$-4x=-1-3$$

Additionner -1 et -3.

$$-4x=-4$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$x=1$$

Substituer 1 à x dans y+2x=3. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y+2=3$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$y=1$$

Le système est désormais résolu.

$$y=1,x=1$$