Résoudre y=2x/5text{y}5x+y+5=0

$$y = 2 x / 5 \text { y } 5 x + y + 5 = 0$$

Calculer y, x

$$x=-\frac{25}{27}\approx -0,925925926$$

$$y=-\frac{10}{27}\approx -0,37037037$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire \frac{2x}{5} des deux côtés.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Multiplier les deux côtés de l’équation par 5.

$$5y-2x=0$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 5 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$5x+y=-5$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$5y-2x=0$$

Ajouter 2x aux deux côtés de l’équation.

$$5y=2x$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$y=\frac{1}{5}\times 2x$$

Multiplier \frac{1}{5} par 2x.

$$y=\frac{2}{5}x$$

Substituer \frac{2x}{5} par y dans l’autre équation, y+5x=-5.

$$\frac{2}{5}x+5x=-5$$

Additionner \frac{2x}{5} et 5x.

$$\frac{27}{5}x=-5$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{27}{5}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$x=-\frac{25}{27}$$

Substituer -\frac{25}{27} à x dans y=\frac{2}{5}x. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=\frac{2}{5}\left(-\frac{25}{27}\right)$$

Multiplier \frac{2}{5} par -\frac{25}{27} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y=-\frac{10}{27}$$

Le système est désormais résolu.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire \frac{2x}{5} des deux côtés.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Multiplier les deux côtés de l’équation par 5.

$$5y-2x=0$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 5 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$5x+y=-5$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{2}{27}\\-\frac{1}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-5\right)\\\frac{5}{27}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{27}\\-\frac{25}{27}\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire \frac{2x}{5} des deux côtés.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Multiplier les deux côtés de l’équation par 5.

$$5y-2x=0$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 5 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$5x+y=-5$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Pour rendre 5y et y égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 1 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 5.

$$5y-2x=0,5y+5\times 5x=5\left(-5\right)$$

Simplifier.

$$5y-2x=0,5y+25x=-25$$

Soustraire 5y+25x=-25 de 5y-2x=0 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$5y-5y-2x-25x=25$$

Additionner 5y et -5y. Les termes 5y et-5y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-2x-25x=25$$

Additionner -2x et -25x.

$$-27x=25$$

Divisez les deux côtés par -27.

$$x=-\frac{25}{27}$$

Substituer -\frac{25}{27} à x dans y+5x=-5. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y+5\left(-\frac{25}{27}\right)=-5$$

Multiplier 5 par -\frac{25}{27}.

$$y-\frac{125}{27}=-5$$

Ajouter \frac{125}{27} aux deux côtés de l’équation.

$$y=-\frac{10}{27}$$

Le système est désormais résolu.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$