Résoudre y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Calculer y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=1$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$y-2x=1$$

Ajouter 2x aux deux côtés de l’équation.

$$y=2x+1$$

Substituer 2x+1 par y dans l’autre équation, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Additionner 2x et x.

$$3x+1=7$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$3x=6$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=2$$

Substituer 2 à x dans y=2x+1. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=2\times 2+1$$

Multiplier 2 par 2.

$$y=4+1$$

Additionner 1 et 4.

$$y=5$$

Le système est désormais résolu.

$$y=5,x=2$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=1$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=5,x=2$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=1$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Soustraire y+x=7 de y-2x=1 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Additionner y et -y. Les termes y et-y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-2x-x=1-7$$

Additionner -2x et -x.

$$-3x=1-7$$

Additionner 1 et -7.

$$-3x=-6$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$x=2$$

Substituer 2 à x dans y+x=7. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y+2=7$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$y=5$$

Le système est désormais résolu.

$$y=5,x=2$$