Résoudre y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Calculer y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire \frac{4}{3}x des deux côtés.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=8$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Ajouter \frac{4x}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Substituer \frac{-28+4x}{3} par y dans l’autre équation, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Additionner \frac{4x}{3} et -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Ajouter \frac{28}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Diviser les deux côtés de l’équation par -\frac{2}{3}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$x=-26$$

Substituer -26 à x dans y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Multiplier \frac{4}{3} par -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Additionner -\frac{28}{3} et -\frac{104}{3} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y=-44$$

Le système est désormais résolu.

$$y=-44,x=-26$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire \frac{4}{3}x des deux côtés.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=8$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=-44,x=-26$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire \frac{4}{3}x des deux côtés.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=8$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Soustraire y-2x=8 de y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Additionner y et -y. Les termes y et-y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Additionner -\frac{4x}{3} et 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Additionner -\frac{28}{3} et -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{2}{3}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$x=-26$$

Substituer -26 à x dans y-2x=8. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Multiplier -2 par -26.

$$y+52=8$$

Soustraire 52 des deux côtés de l’équation.

$$y=-44$$

Le système est désormais résolu.

$$y=-44,x=-26$$