Résoudre y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Calculer y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire \frac{1}{3}x des deux côtés.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter 3x aux deux côtés.

$$y+3x=60$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Ajouter \frac{x}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Substituer \frac{x}{3} par y dans l’autre équation, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Additionner \frac{x}{3} et 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{10}{3}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$x=18$$

Substituer 18 à x dans y=\frac{1}{3}x. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Multiplier \frac{1}{3} par 18.

$$y=6$$

Le système est désormais résolu.

$$y=6,x=18$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire \frac{1}{3}x des deux côtés.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter 3x aux deux côtés.

$$y+3x=60$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=6,x=18$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire \frac{1}{3}x des deux côtés.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter 3x aux deux côtés.

$$y+3x=60$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Soustraire y+3x=60 de y-\frac{1}{3}x=0 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Additionner y et -y. Les termes y et-y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Additionner -\frac{x}{3} et -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Diviser les deux côtés de l’équation par -\frac{10}{3}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$x=18$$

Substituer 18 à x dans y+3x=60. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y+3\times 18=60$$

Multiplier 3 par 18.

$$y+54=60$$

Soustraire 54 des deux côtés de l’équation.

$$y=6$$

Le système est désormais résolu.

$$y=6,x=18$$