Résoudre x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3,886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0,386000936$$

Étapes de la solution

Considérer \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Étendre \left(2x\right)^{2}.

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Soustraire \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} des deux côtés.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

Factoriser 4x^{2}-16x+15.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier x par \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Étant donné que \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} et \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Effectuez les multiplications dans x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right).

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Combiner des termes semblables dans 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs \frac{3}{2},\frac{5}{2} étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 9 et q divise le 4 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=\frac{3}{2}$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 par 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 pour obtenir 2x^{2}-7x-3. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, -7 pour b et -3 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

Résoudre l’équation 2x^{2}-7x-3=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Supprimer les valeurs auxquelles la variable ne peut pas être égale.

$$x\in \emptyset$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

La variable x ne peut pas être égale à \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$