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Calculer x (solution complexe)
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-2x^{2}+x=8
Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.
-2x^{2}+x-8=8-8
Soustraire 8 des deux côtés de l’équation.
-2x^{2}+x-8=0
La soustraction de 8 de lui-même donne 0.
x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}
Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -2 à a, 1 à b et -8 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}
Calculer le carré de 1.
x=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}
Multiplier -4 par -2.
x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-2\right)}
Multiplier 8 par -8.
x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-2\right)}
Additionner 1 et -64.
x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-2\right)}
Extraire la racine carrée de -63.
x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}
Multiplier 2 par -2.
x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-4}
Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 3i\sqrt{7}.
x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}
Diviser -1+3i\sqrt{7} par -4.
x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-4}
Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4} lorsque ± est négatif. Soustraire 3i\sqrt{7} à -1.
x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}
Diviser -1-3i\sqrt{7} par -4.
x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}
L’équation est désormais résolue.
-2x^{2}+x=8
Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.
\frac{-2x^{2}+x}{-2}=\frac{8}{-2}
Divisez les deux côtés par -2.
x^{2}+\frac{1}{-2}x=\frac{8}{-2}
La division par -2 annule la multiplication par -2.
x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{8}{-2}
Diviser 1 par -2.
x^{2}-\frac{1}{2}x=-4
Diviser 8 par -2.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}
DiVisez -\frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir -\frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{4} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-4+\frac{1}{16}
Calculer le carré de -\frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{63}{16}
Additionner -4 et \frac{1}{16}.
\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{63}{16}
Factoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}
Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.
x-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}
Simplifier.
x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}
Ajouter \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation.