Résoudre x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x par 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}-2x+1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combiner 2x et 2x pour obtenir 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Soustraire 6 des deux côtés.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Soustraire 6 de -1 pour obtenir -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

La solution est la paire qui donne la somme 4.

$$a=-3 b=7$$

Réécrire 3x^{2}+4x-7 en tant qu’\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Factorisez 3x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x par 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}-2x+1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combiner 2x et 2x pour obtenir 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Soustraire 6 des deux côtés.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Soustraire 6 de -1 pour obtenir -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 4 à b et -7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Additionner 16 et 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±10}{6} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±10}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 10 à -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x par 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}-2x+1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combiner 2x et 2x pour obtenir 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Ajouter 1 aux deux côtés.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Additionner 6 et 1 pour obtenir 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Divisez \frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Additionner \frac{7}{3} et \frac{4}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Soustraire \frac{2}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$