Résoudre x^5+5x^4+7x^3-x^2-8x-4

$$x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 8 x - 4$$

Factoriser

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Pour factoriser l’expression, résolvez l’équation où elle est égale à 0.

$$x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4=0$$

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -4 et q divise le 1 de coefficients dominants. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=1$$

Selon le théorème du produit nul, x-k est un facteur de polynôme pour chaque k racine. Diviser x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4 par x-1 pour obtenir x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4=0$$

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 4 et q divise le 1 de coefficients dominants. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-1$$

Selon le théorème du produit nul, x-k est un facteur de polynôme pour chaque k racine. Diviser x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4 par x+1 pour obtenir x^{3}+5x^{2}+8x+4. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{3}+5x^{2}+8x+4=0$$

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 4 et q divise le 1 de coefficients dominants. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-1$$

Selon le théorème du produit nul, x-k est un facteur de polynôme pour chaque k racine. Diviser x^{3}+5x^{2}+8x+4 par x+1 pour obtenir x^{2}+4x+4. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{2}+4x+4=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 4 pour b et 4 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{-4±0}{2}$$

Les solutions sont identiques.

$$x=-2$$

Réécrivez l'expression factorisée à l'aide des racines obtenues.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

Évaluer

$$\left(x-1\right)\left(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right)^{2}$$