Résoudre x^4-x^3-15x^2+9x+54

$$x ^ { 4 } - x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } + 9 x + 54$$

Factoriser

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Pour factoriser l’expression, résolvez l’équation où elle est égale à 0.

$$x^{4}-x^{3}-15x^{2}+9x+54=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 54 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±54,±27,±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-2$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{4}-x^{3}-15x^{2}+9x+54 par x+2 pour obtenir x^{3}-3x^{2}-9x+27. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{3}-3x^{2}-9x+27=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 27 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=3$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{3}-3x^{2}-9x+27 par x-3 pour obtenir x^{2}-9. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{2}-9=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 0 pour b et -9 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{0±6}{2}$$

Résoudre l’équation x^{2}-9=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=-3 x=3$$

Réécrivez l'expression factorisée à l'aide des racines obtenues.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)^{2}$$

Évaluer

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)^{2}$$