Résoudre x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Ajouter 12x aux deux côtés.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Soustraire 9 des deux côtés.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -9 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=1$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{4}-4x^{2}+12x-9 par x-1 pour obtenir x^{3}+x^{2}-3x+9. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 9 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-3$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{3}+x^{2}-3x+9 par x+3 pour obtenir x^{2}-2x+3. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -2 pour b et 3 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Résoudre l’équation x^{2}-2x+3=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Calculer x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Ajouter 12x aux deux côtés.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Soustraire 9 des deux côtés.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -9 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=1$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{4}-4x^{2}+12x-9 par x-1 pour obtenir x^{3}+x^{2}-3x+9. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 9 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-3$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{3}+x^{2}-3x+9 par x+3 pour obtenir x^{2}-2x+3. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -2 pour b et 3 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Comme la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans le champ réel, il n’existe aucune solution.

$$x\in \emptyset$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$x=1 x=-3$$