Résoudre x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Calculer x

$$x=6$$

$$x=7$$

Étapes d’utilisation de la factorisation

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-13x+42 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-13 ab=42$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

La solution est la paire qui donne la somme -13.

$$a=-7 b=-6$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-7=0 et x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx+42. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

La solution est la paire qui donne la somme -13.

$$a=-7 b=-6$$

Réécrire x^{2}-13x+42 en tant qu’\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Factorisez x du premier et -6 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-7=0 et x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -13 à b et 42 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Calculer le carré de -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Multiplier -4 par 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Additionner 169 et -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

L’inverse de -13 est 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{13±1}{2} lorsque ± est positif. Additionner 13 et 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Diviser 14 par 2.

$$x=7$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{13±1}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Diviser 12 par 2.

$$x=6$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=7 x=6$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Soustraire 42 des deux côtés de l’équation.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

La soustraction de 42 de lui-même donne 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Divisez -13, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{13}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{13}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{13}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Additionner -42 et \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Ajouter \frac{13}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=7 x=6$$