Résoudre x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Calculer x

$$x=-32$$

$$x=16$$

Étapes d’utilisation de la factorisation

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}+16x-512 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=16 ab=-512$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

La solution est la paire qui donne la somme 16.

$$a=-16 b=32$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-16=0 et x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-512. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

La solution est la paire qui donne la somme 16.

$$a=-16 b=32$$

Réécrire x^{2}+16x-512 en tant qu’\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Factorisez x du premier et 32 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Factoriser le facteur commun x-16 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-16=0 et x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, 16 à b et -512 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

Calculer le carré de 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Multiplier -4 par -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Additionner 256 et 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-16±48}{2} lorsque ± est positif. Additionner -16 et 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Diviser 32 par 2.

$$x=16$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-16±48}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 48 à -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Diviser -64 par 2.

$$x=-32$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=16 x=-32$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Ajouter 512 aux deux côtés de l’équation.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

La soustraction de -512 de lui-même donne 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Soustraire -512 à 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Divisez 16, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer 8. Ajouter ensuite le carré de 8 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

Calculer le carré de 8.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Additionner 512 et 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Factor x^{2}+16x+64. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Simplifier.

$$x+8=24 x+8=-24$$

Soustraire 8 des deux côtés de l’équation.

$$x=16 x=-32$$