Résoudre x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Calculer x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Étapes de la solution

Soustraire x^{2}+11 des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+11, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Soustraire 11 de 42 pour obtenir 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}+11} à la puissance 2 et obtenir x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Soustraire 961 des deux côtés.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Soustraire 961 de 11 pour obtenir -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Ajouter 62x^{2} aux deux côtés.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Combiner x^{2} et 62x^{2} pour obtenir 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Soustraire x^{4} des deux côtés.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Substituer t pour x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez -1 pour a, 63 pour b et -950 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Résoudre l’équation t=\frac{-63±13}{-2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=25 t=38$$

Depuis x=t^{2}, les solutions sont obtenues en évaluant x=±\sqrt{t} pour chaque t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Remplacez x par 5 dans l’équation x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$42=42$$

Remplacez x par -5 dans l’équation x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Simplifier. La valeur x=-5 satisfait à l’équation.

$$42=42$$

Remplacez x par \sqrt{38} dans l’équation x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Simplifier. La valeur x=\sqrt{38} ne satisfait pas l’équation.

$$56=42$$

Remplacez x par -\sqrt{38} dans l’équation x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Simplifier. La valeur x=-\sqrt{38} ne satisfait pas l’équation.

$$56=42$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$