Résoudre x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Pour multiplier les puissances de la même base, additionnez leurs exposants. Additionnez 2 et 1 pour obtenir 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combiner x^{2} et 4x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Additionner 10 et 1 pour obtenir 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Calculer le carré de x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combiner x^{2} et -2x^{2} pour obtenir -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combiner 2x et 12x pour obtenir 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Additionner 11 et 9 pour obtenir 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire 20 des deux côtés.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combiner 5x^{2} et x^{2} pour obtenir 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire 14x des deux côtés.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire x^{4} des deux côtés.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Combiner x^{4} et -x^{4} pour obtenir 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Ajouter 4x^{3} aux deux côtés.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Combiner -4x^{3} et 4x^{3} pour obtenir 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-10 b=3$$

Réécrire 3x^{2}-7x-10 en tant qu’\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Factoriser x dans 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Factoriser le facteur commun 3x-10 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-10=0 et x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Pour multiplier les puissances de la même base, additionnez leurs exposants. Additionnez 2 et 1 pour obtenir 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combiner x^{2} et 4x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Additionner 10 et 1 pour obtenir 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Calculer le carré de x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combiner x^{2} et -2x^{2} pour obtenir -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combiner 2x et 12x pour obtenir 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Additionner 11 et 9 pour obtenir 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire 20 des deux côtés.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combiner 5x^{2} et x^{2} pour obtenir 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire 14x des deux côtés.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire x^{4} des deux côtés.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Combiner x^{4} et -x^{4} pour obtenir 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Ajouter 4x^{3} aux deux côtés.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Combiner -4x^{3} et 4x^{3} pour obtenir 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, -14 à b et -20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Additionner 196 et 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

L’inverse de -14 est 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±26}{12} lorsque ± est positif. Additionner 14 et 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Réduire la fraction \frac{40}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{10}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±26}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 26 à 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Diviser -12 par 12.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Pour multiplier les puissances de la même base, additionnez leurs exposants. Additionnez 2 et 1 pour obtenir 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combiner x^{2} et 4x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Additionner 10 et 1 pour obtenir 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Calculer le carré de x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combiner x^{2} et -2x^{2} pour obtenir -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combiner 2x et 12x pour obtenir 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Additionner 11 et 9 pour obtenir 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combiner 5x^{2} et x^{2} pour obtenir 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire 14x des deux côtés.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Soustraire x^{4} des deux côtés.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Combiner x^{4} et -x^{4} pour obtenir 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Ajouter 4x^{3} aux deux côtés.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Combiner -4x^{3} et 4x^{3} pour obtenir 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Réduire la fraction \frac{20}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Divisez -\frac{7}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Additionner \frac{10}{3} et \frac{49}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Ajouter \frac{7}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$