Résoudre x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Multipliez les deux côtés de l’équation par 6, le plus petit commun multiple de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combiner 6x et 9x pour obtenir 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -2 par x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combiner 15x et -2x pour obtenir 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Additionner 3 et 4 pour obtenir 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Soustraire 6x^{2} des deux côtés.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Ajouter 12 aux deux côtés.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Additionner 7 et 12 pour obtenir 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -6x^{2}+ax+bx+19. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

La solution est la paire qui donne la somme 13.

$$a=19 b=-6$$

Réécrire -6x^{2}+13x+19 en tant qu’\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Factorisez -x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Factoriser le facteur commun 6x-19 en utilisant la distributivité.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 6x-19=0 et -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multipliez les deux côtés de l’équation par 6, le plus petit commun multiple de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combiner 6x et 9x pour obtenir 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -2 par x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combiner 15x et -2x pour obtenir 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Additionner 3 et 4 pour obtenir 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Soustraire 6x^{2} des deux côtés.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Ajouter 12 aux deux côtés.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Additionner 7 et 12 pour obtenir 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -6 à a, 13 à b et 19 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Calculer le carré de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplier -4 par -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplier 24 par 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Additionner 169 et 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Extraire la racine carrée de 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multiplier 2 par -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±25}{-12} lorsque ± est positif. Additionner -13 et 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Diviser 12 par -12.

$$x=-1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±25}{-12} lorsque ± est négatif. Soustraire 25 à -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Réduire la fraction \frac{-38}{-12} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Multipliez les deux côtés de l’équation par 6, le plus petit commun multiple de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combiner 6x et 9x pour obtenir 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -2 par x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combiner 15x et -2x pour obtenir 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Additionner 3 et 4 pour obtenir 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Soustraire 6x^{2} des deux côtés.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Soustraire 7 des deux côtés.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Soustraire 7 de -12 pour obtenir -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Divisez les deux côtés par -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

La division par -6 annule la multiplication par -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Diviser 13 par -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Diviser -19 par -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Divisez -\frac{13}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{13}{12}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{13}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{13}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Additionner \frac{19}{6} et \frac{169}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Ajouter \frac{13}{12} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$