Résoudre n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Calculer n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Étapes d’utilisation de la factorisation

Pour résoudre l’équation, facteur n^{2}-n-210 à l’aide de la n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-15 b=14$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(n+a\right)\left(n+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez n-15=0 et n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que n^{2}+an+bn-210. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-15 b=14$$

Réécrire n^{2}-n-210 en tant qu’\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Factorisez n du premier et 14 dans le deuxième groupe.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Factoriser le facteur commun n-15 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez n-15=0 et n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n^{2}-n-210=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -1 à b et -210 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multiplier -4 par -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Additionner 1 et 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{1±29}{2} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Diviser 30 par 2.

$$n=15$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{1±29}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 29 à 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Diviser -28 par 2.

$$n=-14$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=15 n=-14$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Ajouter 210 aux deux côtés de l’équation.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

La soustraction de -210 de lui-même donne 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Soustraire -210 à 0.

$$n^{2}-n=210$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Additionner 210 et \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Factor n^{2}-n+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Simplifier.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$n=15 n=-14$$