Résoudre n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Calculer n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Calculer 2009 à la puissance 2 et obtenir 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -4019 pour b et 4036081 pour c dans la formule quadratique.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Résoudre l’équation n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Pour que le produit soit ≤0, l’une des valeurs n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} et n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} doit être ≥0 et l’autre doit être ≤0. Examinons le cas lorsque n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 et n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Il a la valeur false pour tout n.

$$n\in \emptyset$$

Examinons le cas lorsque n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 et n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$