Résoudre n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Calculer n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Étapes d’utilisation de la factorisation

Pour résoudre l’équation, facteur n^{2}-11n-60 à l’aide de la n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -11.

$$a=-15 b=4$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(n+a\right)\left(n+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez n-15=0 et n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que n^{2}+an+bn-60. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -11.

$$a=-15 b=4$$

Réécrire n^{2}-11n-60 en tant qu’\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Factorisez n du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Factoriser le facteur commun n-15 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez n-15=0 et n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -11 à b et -60 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Calculer le carré de -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Multiplier -4 par -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Additionner 121 et 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

L’inverse de -11 est 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{11±19}{2} lorsque ± est positif. Additionner 11 et 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Diviser 30 par 2.

$$n=15$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{11±19}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 19 à 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Diviser -8 par 2.

$$n=-4$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=15 n=-4$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Ajouter 60 aux deux côtés de l’équation.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

La soustraction de -60 de lui-même donne 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Soustraire -60 à 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Divisez -11, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Additionner 60 et \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Factor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplifier.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Ajouter \frac{11}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$n=15 n=-4$$