Résoudre f(x)=3x^4-7x^3-19x^2+49x-14

$$f ( x ) = 3 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 19 x ^ { 2 } + 49 x - 14$$

Factoriser

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}-7\right)$$

Étapes de la solution

Pour factoriser l’expression, résolvez l’équation où elle est égale à 0.

$$3x^{4}-7x^{3}-19x^{2}+49x-14=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -14 et q divise le 3 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{14}{3},±14,±\frac{7}{3},±7,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=2$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 3x^{4}-7x^{3}-19x^{2}+49x-14 par x-2 pour obtenir 3x^{3}-x^{2}-21x+7. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$3x^{3}-x^{2}-21x+7=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 7 et q divise le 3 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{3},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=\frac{1}{3}$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 3x^{3}-x^{2}-21x+7 par 3\left(x-\frac{1}{3}\right)=3x-1 pour obtenir x^{2}-7. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{2}-7=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 0 pour b et -7 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-7\right)}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{0±2\sqrt{7}}{2}$$

Résoudre l’équation x^{2}-7=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=-\sqrt{7} x=\sqrt{7}$$

Réécrivez l'expression factorisée à l'aide des racines obtenues. Le x^{2}-7 polynomiale n’est pas pris en compte, car il ne possède pas de racines Rational.

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}-7\right)$$

Évaluer

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}-7\right)$$