Résoudre f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Factoriser

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -20 et q divise le 2 de coefficients dominants. Une racine de ce type est -\frac{5}{2}. Factoriser le polynôme en le divisant par 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Considérer x^{3}+3x^{2}-4. Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -4 et q divise le 1 de coefficients dominants. Une racine de ce type est -2. Factoriser le polynôme en le divisant par x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Considérer x^{2}+x-2. Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme x^{2}+ax+bx-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-1 b=2$$

Réécrire x^{2}+x-2 en tant qu’\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Factorisez x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Réécrivez l’expression factorisée complète.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Évaluer

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$