Résoudre f(x)=-20x^2+23x-6?

$$f ( x ) = - 20 x ^ { 2 } + 23 x - 6 ?$$

Factoriser

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme -20x^{2}+ax+bx-6. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=23 ab=-20\left(-6\right)=120$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

La solution est la paire qui donne la somme 23.

$$a=15 b=8$$

Réécrire -20x^{2}+23x-6 en tant qu’\left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right).

$$\left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right)$$

Factorisez -5x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$-5x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-3\right)\left(-5x+2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$-20x^{2}+23x-6=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Calculer le carré de 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplier -4 par -20.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+80\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplier 80 par -6.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\left(-20\right)}$$

Additionner 529 et -480.

$$x=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\left(-20\right)}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$x=\frac{-23±7}{2\left(-20\right)}$$

Multiplier 2 par -20.

$$x=\frac{-23±7}{-40}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±7}{-40} lorsque ± est positif. Additionner -23 et 7.

$$x=-\frac{16}{-40}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{-40} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±7}{-40} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à -23.

$$x=-\frac{30}{-40}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{-40} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{3}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{2}{5} par x_{1} et \frac{3}{4} par x_{2}.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Soustraire \frac{2}{5} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Soustraire \frac{3}{4} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\times \frac{-4x+3}{-4}$$

Multiplier \frac{-5x+2}{-5} par \frac{-4x+3}{-4} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{-5\left(-4\right)}$$

Multiplier -5 par -4.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{20}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 20 dans -20 et 20.

$$-20x^{2}+23x-6=-\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)$$

Évaluer

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$