Résoudre f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Évaluer

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Étapes de la solution

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Dans la mesure où \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int t^{2}\mathrm{d}t par \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Dans la mesure où \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int t\mathrm{d}t par \frac{t^{2}}{2}. Multiplier -1 par \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Simplifier.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Différencier w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)$$