Résoudre a^2-4a+1>0

$$a ^ { 2 } - 4 a + 1 > 0$$

Calculer a

$$a\in \left(-\infty,2-\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3}+2,\infty\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-4a+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -4 pour b et 1 pour c dans la formule quadratique.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$a=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Résoudre l’équation a=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$a=\sqrt{3}+2 a=2-\sqrt{3}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(a-\left(\sqrt{3}+2\right)\right)\left(a-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)>0$$

Pour que le produit soit positif, a-\left(\sqrt{3}+2\right) et a-\left(2-\sqrt{3}\right) doivent être à la fois négatives ou les deux positives. Considérer le cas lorsque a-\left(\sqrt{3}+2\right) et a-\left(2-\sqrt{3}\right) sont tous les deux négatifs.

$$a-\left(\sqrt{3}+2\right)<0 a-\left(2-\sqrt{3}\right)<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est a<2-\sqrt{3}.

$$a<2-\sqrt{3}$$

Considérer le cas lorsque a-\left(\sqrt{3}+2\right) et a-\left(2-\sqrt{3}\right) sont tous les deux positifs.

$$a-\left(2-\sqrt{3}\right)>0 a-\left(\sqrt{3}+2\right)>0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est a>\sqrt{3}+2.

$$a>\sqrt{3}+2$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$a<2-\sqrt{3}\text{; }a>\sqrt{3}+2$$