Résoudre 9z^2-30z+41=0

$$9 z ^ { 2 } - 30 z + 41 = 0$$

Calculer z

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i\approx 1,666666667+1,333333333i$$

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i\approx 1,666666667-1,333333333i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -30 à b et 41 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -30.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 41}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 41.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-1476}}{2\times 9}$$

Additionner 900 et -1476.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-576}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de -576.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±24i}{2\times 9}$$

L’inverse de -30 est 30.

$$z=\frac{30±24i}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$z=\frac{30±24i}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{30±24i}{18} lorsque ± est positif. Additionner 30 et 24i.

$$z=\frac{30+24i}{18}$$

Diviser 30+24i par 18.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{30±24i}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 24i à 30.

$$z=\frac{30-24i}{18}$$

Diviser 30-24i par 18.

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

L’équation est désormais résolue.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Soustraire 41 des deux côtés de l’équation.

$$9z^{2}-30z+41-41=-41$$

La soustraction de 41 de lui-même donne 0.

$$9z^{2}-30z=-41$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9z^{2}-30z}{9}=-\frac{41}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$z^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)z=-\frac{41}{9}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z=-\frac{41}{9}$$

Divisez -\frac{10}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{41}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=\frac{-41+25}{9}$$

Additionner -\frac{41}{9} et \frac{25}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=-\frac{16}{9}$$

Factor z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{16}{9}}$$

Simplifier.

$$z-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}i z-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}i$$

Ajouter \frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$