Résoudre 9y^2-31y+22

$$9 y ^ { 2 } - 31 y + 22$$

Factoriser

$$\left(y-1\right)\left(9y-22\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 9y^{2}+ay+by+22. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-31 ab=9\times 22=198$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 198.

$$-1,-198 -2,-99 -3,-66 -6,-33 -9,-22 -11,-18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-198=-199 -2-99=-101 -3-66=-69 -6-33=-39 -9-22=-31 -11-18=-29$$

La solution est la paire qui donne la somme -31.

$$a=-22 b=-9$$

Réécrire 9y^{2}-31y+22 en tant qu’\left(9y^{2}-22y\right)+\left(-9y+22\right).

$$\left(9y^{2}-22y\right)+\left(-9y+22\right)$$

Factorisez y du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$y\left(9y-22\right)-\left(9y-22\right)$$

Factoriser le facteur commun 9y-22 en utilisant la distributivité.

$$\left(9y-22\right)\left(y-1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-31y+22=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 9\times 22}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -31.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 9\times 22}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-36\times 22}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 22.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-792}}{2\times 9}$$

Additionner 961 et -792.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{169}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±13}{2\times 9}$$

L’inverse de -31 est 31.

$$y=\frac{31±13}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$y=\frac{31±13}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{31±13}{18} lorsque ± est positif. Additionner 31 et 13.

$$y=\frac{44}{18}$$

Réduire la fraction \frac{44}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=\frac{22}{9}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{31±13}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à 31.

$$y=\frac{18}{18}$$

Diviser 18 par 18.

$$y=1$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{22}{9} par x_{1} et 1 par x_{2}.

$$9y^{2}-31y+22=9\left(y-\frac{22}{9}\right)\left(y-1\right)$$

Soustraire \frac{22}{9} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9y^{2}-31y+22=9\times \frac{9y-22}{9}\left(y-1\right)$$

Annulez le facteur commun le plus grand 9 dans 9 et 9.

$$9y^{2}-31y+22=\left(9y-22\right)\left(y-1\right)$$

Évaluer

$$\left(y-1\right)\left(9y-22\right)$$