Résoudre 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Calculer y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combiner 9y^{2} et -y^{2} pour obtenir 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2y^{2}+ay+by+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-2 b=-1$$

Réécrire 2y^{2}-3y+1 en tant qu’\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Factorisez 2y du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Factoriser le facteur commun y-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-1=0 et 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combiner 9y^{2} et -y^{2} pour obtenir 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 8 à a, -12 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Additionner 144 et -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

L’inverse de -12 est 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{12±4}{16} lorsque ± est positif. Additionner 12 et 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Diviser 16 par 16.

$$y=1$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{12±4}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 4 à 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Réduire la fraction \frac{8}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combiner 9y^{2} et -y^{2} pour obtenir 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Divisez les deux côtés par 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

La division par 8 annule la multiplication par 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Divisez -\frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Additionner -\frac{1}{2} et \frac{9}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Factor y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ajouter \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$