Résoudre 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Calculer y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -12 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Additionner 144 et -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

L’inverse de -12 est 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} lorsque ± est positif. Additionner 12 et 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Diviser 12+6\sqrt{2} par 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 6\sqrt{2} à 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Diviser 12-6\sqrt{2} par 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

La soustraction de 2 de lui-même donne 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Divisez -\frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Additionner -\frac{2}{9} et \frac{4}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Factor y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Ajouter \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$