Résoudre 9x^2-x-890=0

$$9 x ^ { 2 } - x - 890 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{89}{9} = -9\frac{8}{9} \approx -9,888888889$$

$$x=10$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9x^{2}+ax+bx-890. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=9\left(-890\right)=-8010$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -8010.

$$1,-8010 2,-4005 3,-2670 5,-1602 6,-1335 9,-890 10,-801 15,-534 18,-445 30,-267 45,-178 89,-90$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-8010=-8009 2-4005=-4003 3-2670=-2667 5-1602=-1597 6-1335=-1329 9-890=-881 10-801=-791 15-534=-519 18-445=-427 30-267=-237 45-178=-133 89-90=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-90 b=89$$

Réécrire 9x^{2}-x-890 en tant qu’\left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right).

$$\left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right)$$

Factorisez 9x du premier et 89 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(x-10\right)+89\left(x-10\right)$$

Factoriser le facteur commun x-10 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-10\right)\left(9x+89\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-10=0 et 9x+89=0.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -1 à b et -890 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 9\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-36\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par -890.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32040}}{2\times 9}$$

Additionner 1 et 32040.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{32041}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 32041.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±179}{2\times 9}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±179}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{1±179}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±179}{18} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 179.

$$x=\frac{180}{18}$$

Diviser 180 par 18.

$$x=10$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±179}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 179 à 1.

$$x=-\frac{178}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-178}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{89}{9}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Ajouter 890 aux deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}-x-890-\left(-890\right)=-\left(-890\right)$$

La soustraction de -890 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}-x=-\left(-890\right)$$

Soustraire -890 à 0.

$$9x^{2}-x=890$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}-x}{9}=\frac{890}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=\frac{890}{9}$$

Divisez -\frac{1}{9}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{18}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{18} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{890}{9}+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{18} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{890}{9}+\frac{1}{324}$$

Additionner \frac{890}{9} et \frac{1}{324} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{32041}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{32041}{324}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{32041}{324}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{18}=\frac{179}{18} x-\frac{1}{18}=-\frac{179}{18}$$

Ajouter \frac{1}{18} aux deux côtés de l’équation.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$