Résoudre 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0,277777778+0,606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0,277777778-0,606039562i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -5 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

Additionner 25 et -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de -119.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} lorsque ± est positif. Additionner 5 et i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{119} à 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

La soustraction de 4 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}-5x=-4$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Divisez -\frac{5}{9}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{18}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{18} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{18} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Additionner -\frac{4}{9} et \frac{25}{324} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

Ajouter \frac{5}{18} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$