Résoudre 9x^2-4x-69

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 69$$

Factoriser

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 9x^{2}+ax+bx-69. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=9\left(-69\right)=-621$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -621.

$$1,-621 3,-207 9,-69 23,-27$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-621=-620 3-207=-204 9-69=-60 23-27=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -4.

$$a=-27 b=23$$

Réécrire 9x^{2}-4x-69 en tant qu’\left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right)$$

Factorisez 9x du premier et 23 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-4x-69=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par -69.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2484}}{2\times 9}$$

Additionner 16 et 2484.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2500}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 2500.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±50}{2\times 9}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±50}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{4±50}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±50}{18} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 50.

$$x=\frac{54}{18}$$

Diviser 54 par 18.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±50}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 50 à 4.

$$x=-\frac{46}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-46}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{23}{9}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 3 par x_{1} et -\frac{23}{9} par x_{2}.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{9}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{9}\right)$$

Additionner \frac{23}{9} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\times \frac{9x+23}{9}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 9 dans 9 et 9.

$$9x^{2}-4x-69=\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Évaluer

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$