Résoudre 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 65 des deux côtés.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9x^{2}+ax+bx-65. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

La solution est la paire qui donne la somme -24.

$$a=-39 b=15$$

Réécrire 9x^{2}-24x-65 en tant qu’\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Factorisez 3x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-13 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-13=0 et 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}-24x=65$$

Soustraire 65 des deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

La soustraction de 65 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -24 à b et -65 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Additionner 576 et 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

L’inverse de -24 est 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{24±54}{18} lorsque ± est positif. Additionner 24 et 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Réduire la fraction \frac{78}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{24±54}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 54 à 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Divisez -\frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Additionner \frac{65}{9} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Factor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifier.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Ajouter \frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$