Résoudre 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Calculer x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 25 des deux côtés.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Soustraire 25 de 9 pour obtenir -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9x^{2}+ax+bx-16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-9 b=16$$

Réécrire 9x^{2}+7x-16 en tant qu’\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Factorisez 9x du premier et 16 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Soustraire 25 des deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

La soustraction de 25 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Soustraire 25 à 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, 7 à b et -16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Additionner 49 et 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±25}{18} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Diviser 18 par 18.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±25}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 25 à -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-32}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Soustraire 9 à 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Divisez \frac{7}{9}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{18}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{18} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{18} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Additionner \frac{16}{9} et \frac{49}{324} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Soustraire \frac{7}{18} des deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$