Résoudre 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, 6 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Additionner 36 et -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} lorsque ± est positif. Additionner -6 et 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Diviser -6+12i\sqrt{2} par 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 12i\sqrt{2} à -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Diviser -6-12i\sqrt{2} par 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Réduire la fraction \frac{6}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Diviser -9 par 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Divisez \frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Additionner -1 et \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Soustraire \frac{1}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$