Résoudre 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Calculer t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9t^{2}+at+bt+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 9.

$$1,9 3,3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+9=10 3+3=6$$

La solution est la paire qui donne la somme 6.

$$a=3 b=3$$

Réécrire 9t^{2}+6t+1 en tant qu’\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Factoriser 3t dans 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Factoriser le facteur commun 3t+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, 6 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Additionner 36 et -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Réduire la fraction \frac{6}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Divisez \frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Additionner -\frac{1}{9} et \frac{1}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Factor t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Soustraire \frac{1}{3} des deux côtés de l’équation.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$t=-\frac{1}{3}$$